概率公式 - 加法公式与乘法公式的综合应用
对于任意两个事件A和B，并集概率与交集概率的关系为：
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\]
实际含义：至少一个事件发生的概率 = 两个事件各自发生的概率之和减去两者同时发生的概率。
几何解释：在维恩图中，并集区域 = A区域 + B区域 - 交集区域。
条件概率\( P(B|A) \)（在A发生时B发生的概率）与交集概率的关系为：
\[P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \implies P(A \cap B) = P(B|A) \times P(A)\]
实际含义：两个事件同时发生的概率 = 条件概率 × 无条件概率。
独立事件特例：若A、B独立，则 \( P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \)。
加法公式重排：\( P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B) \)
乘法公式重排：\( P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \)
综合应用：两个公式可以结合使用解决复杂概率问题。
通过比较交集概率与独立情况下的乘积来判断事件独立性：
独立性准则：事件A和B独立当且仅当 \( P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \)
等价条件：\( P(A|B) = P(A) \) 且 \( P(B|A) = P(B) \)
A和B是两个事件，已知\( P(A) = 0.6 \)，\( P(B) = 0.7 \)，\( P(A \cup B) = 0.9 \)，求\( P(A \cap B) \)。
使用加法公式 \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \)，重排求解 \( P(A \cap B) \)：
\[P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B) = 0.6 + 0.7 - 0.9 = 0.4\]
C和D是两个事件，已知\( P(C) = 0.2 \)，\( P(D) = 0.6 \)，\( P(C|D) = 0.3 \)，求：
a) \( P(C \cap D) \)
b) \( P(D|C) \)
c) \( P(C \cup D) \)
a) 使用乘法公式
\( P(C \cap D) = P(C|D) \times P(D) = 0.3 \times 0.6 = 0.18 \)
b) 使用条件概率公式
\( P(D|C) = \frac{P(C \cap D)}{P(C)} = \frac{0.18}{0.2} = 0.9 \)
c) 使用加法公式
\( P(C \cup D) = P(C) + P(D) - P(C \cap D) = 0.2 + 0.6 - 0.18 = 0.62 \)
已知边缘概率求交集：
几何解释：避免重复计算重叠区域。
已知条件概率求交集：
逆向应用：已知交集概率求条件概率。
综合求解：
实际问题：将实际情境转化为公式应用。
计算比较法：
等价判断：\( P(A|B) = P(A) \) 且 \( P(B|A) = P(B) \)